Testul chi-pătrat
Testul standard pentru întrebarea „aceste 37 de frecvențe sunt ce ar produce o roată corectă?”
χ² = Σ (observat − așteptat)² / așteptat pe toate cele 37 de buzunare. Compară cu distribuția chi-pătrat cu 36 de grade de libertate ca să obții o valoare p.
Calculul
Numărul așteptat pe buzunarechipamentBuzunarUnul dintre cele 37 de compartimente numerotate ale rotorului. Se mai numește: locaș, cupă.Citește tot → este n/37. Pentru fiecare buzunar, ridici la pătrat diferența dintre numărul observat și cel așteptat și o împarți la cel așteptat; apoi aduni cei 37 de termeni. O roată corectă dă în medie valori în jur de 36 (gradele de libertatelaboratorGrade de libertateNumărul de valori independente dintr-o statistică. Pentru un test chi-pătrat pe 37 de buzunare este 36, pentru că numărătorile trebuie să dea prin adunare totalul.Citește tot →), cu o abatere standardmatematicăAbatere standardRădăcina pătrată a varianței; distanța tipică a unui rezultat față de valoarea așteptată.Citește tot → de aproximativ 8,5. Peste 51,0 este semnificativ la nivelul de 5%; peste 58,6, la 1%. Analizorul abaterii roții de pe acest site calculează statistica și valoarea plaboratorValoare pProbabilitatea de a vedea o abatere cel puțin la fel de mare ca cea observată, dacă roata ar fi corectă.Citește tot → exactă din funcția gamma incompletă regularizată.
Un exemplu rezolvat
1.000 de rotiri. Treizeci și șase de buzunare ies între 20 și 34 de ori; buzunarul 8 are 41. Valoarea așteptată este 27,03. Termenul buzunarului 8 singur este (41 − 27,03)²/27,03 = 7,2. Presupune că ceilalți 36 de termeni însumează 38 (tipic). χ² = 45,2 la 36 df, p ≈ 0,14. Nu este semnificativ: o roată corectă face asta o dată din șapte. Buzunarul 8 este un candidat, nu o concluzie, iar răspunsul este încă o mie de rotiri.
Ipoteze
Rotiri independentematematicăRotiri independenteFiecare rotire are aceleași probabilități, indiferent de istoric. Baza fiecărui calcul de pe acest site.Citește tot → și valori așteptate de cel puțin 5 pe buzunar, ceea ce înseamnă n ≥ 185 pentru ca testul să fie valid și mult mai mult pentru ca să fie util. Reunirea rotirilor de la mai multe roți încalcă prima ipoteză în spirit (testezi un amestec, nu o roată). Un efect de semnătură a crupierului ar încălca-o în fapt și ar umfla χ² fără ca vreun buzunar să fie favorizat fizic.
Pearson și Monte Carlo
Karl Pearson a publicat testul în 1900, iar unul dintre primele lui exemple rezolvate a fost de 26.306 de rotiri înregistrate la ruleta de la Monte Carlo, pe care le-a găsit mult prea neuniforme ca să fie întâmplătoare și a declarat că „ruleta de la Monte Carlo… nu este un joc de noroc”. Autori de mai târziu au concluzionat că jurnaliștii care înregistraseră rotirile pentru un ziar inventaseră multe dintre ele, ceea ce este o lecție în sine despre proveniența datelor.
Pearson publică testul chi-pătrat de concordanță, cu rotiri de la Monte Carlo ca exemplu.
Datele rotirilor sunt puse la îndoială; se pare că cei care le înregistrau au inventat serii.
Fisher formalizează gradele de libertate; convenția de 5% se impune.
Statisticienii folosesc rotirile de ruletă drept date de manual pentru testele de uniformitate.
Familia García-Pelayo aplică metoda pe date reale înregistrate și câștigă la Madrid.
Cazinourile rulează același test pe propriile roți, ca întreținere de rutină.
Un test real: roțile automate din Las Vegas
Jucătorii suspectează adesea că o roată automată îndepărtează bilaechipamentBilăBila mică lansată pe pistă în sens opus rotorului. Bilele moderne sunt din ivorină sau din teflon, 18–21 mm.Citește tot → de pariurile mari. În 2017, Wizard of Odds a pus suspiciunea la încercare pe roțile Interblock fără crupier, cu dublu zeroroatăZeroSingurul buzunar verde, pe care nu îl acoperă niciun pariu pe șanse simple, pe duzină sau pe coloană; sursa avantajului casei. Se mai numește: un singur zero, 0.Citește tot →, din Las Vegas, pariind pe un arc de cinci numere vecine, tipul de pariu pe care îl face un jucător care cronometrează roata. În 299 de rotiri, arcul a câștigat de 29 de ori, față de 39,3 așteptate, un deficit pe care o roată corectă îl produce în aproximativ 4% din cazuri. Chi-pătrat pe toate cele 38 de buzunare a fost 45,29 la 37 de grade de libertate: p = 16,5%. Un al doilea eșantion, de 1.204 rotiri pe trei roți, a dat χ² = 34,79, p = 57%, și niciun arc, de orice mărime a încercat, nu a fost semnificativ. Ambele eșantioane împreună, 1.503 rotiri, au dat χ² = 41,75, p = 27%. Verdictul: nicio dovadă de dirijare a bilei. Primul eșantion, singur, părea suspect; al doilea a lămurit lucrurile.
Dincolo de chi-pătrat
Pentru un singur buzunar suspectat, un test binomial este mai puternic. Pentru un arc suspectat, testul z pe sectoareroatăSectorUn arc continuu de buzunare pe roată, spre deosebire de un grup de pe tabloul de joc.Citește tot → de pe pagina Analiza sectoarelor. Chi-pătrat este testul global: îți spune că ceva nu este în regulă, fără să spună ce. Folosește-l întâi, apoi caută.
Formulă
Întrebări
Cele 37 de frecvențe trebuie să însumeze n, deci doar 36 pot varia liber.
O roată cu un buzunar la 1/25 în 10.000 de rotiri ar da doar pentru acel buzunar un termen în jur de 70; χ² mult peste 100, p practic zero.
Tehnic da, cu 5,4 așteptate pe buzunar. Nu va detecta nimic mai mic decât o roată cu un buzunar astupat.
Pauză de umor
Adună surprizele ridicate la pătrat. Compară cu 51,0.
Surse
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”