Problemă: limita mesei
Un Martingale de $10 la o masă cu limita de $500. Cât de des se rupe, cât pierde când se rupe și ajută dacă ridici limita?
Șase pierderi la rând îl rup: 1,8% pe ciclu, aproximativ 60% din sesiunile de 100 de rotiri. Ruperea costă $630. Ridicarea limitei la $5.000 face ruperea mai rară (0,25% pe ciclu) și mai mare ($5.110). Pierderea așteptată pe dolar pariat este 2,70% la orice limită.
Problema
Un jucător pariază $10 pe roșupariuRoșuȘansă simplă pe cele 18 numere roșii. În franceză: rouge.Citește tot → și dublează după fiecare pierdere, revenind la miza inițială după un câștig. Maximul mesei este $500. (a) Câte pierderi consecutive rup progresiastrategieProgresieOrice regulă care schimbă miza în funcție de rezultatele anterioare. Progresiile negative o măresc după pierderi, cele pozitive după câștiguri.Citește tot →? (b) Care este probabilitateamatematicăProbabilitateȘansa unui rezultat, de la 0 la 1 sau de la 0% la 100%. Un număr: 1/37 = 2,70%.Citește tot → pe ciclu? (c) Cât se pierde la rupere? (d) Cum schimbă răspunsurile o limită de $5.000? (e) Face vreo limită sistemul profitabil?
Soluțiile (a)–(c)
Mize: 10, 20, 40, 80, 160, 320. A șaptea ar fi 640 > 500, deci șase pierderi îl rup. (b) p(pierdere) = 19/37 pe roșu; (19/37)⁶ = 0,0183, aproximativ 1,8% pe ciclu. Un ciclu durează în medie cam două rotiri, deci o sesiune de 100 de rotiri are aproximativ 50 de cicluri și p(cel puțin o rupere) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, adică 63 de unitățibaniUnitateMiza de bază în care lucrează un sistem sau un jucător. Progresiile sunt descrise în unități ca să se aplice la orice masă.Citește tot → de bază, față de cei $10 pe care ciclul încerca să-i câștige.
Soluția (d)
La $5.000: sunt permise mize până la 2.560; a zecea miză, 5.120, este refuzată. Nouă pierderi îl rup: (19/37)⁹ ≈ 0,25% pe ciclu, aproximativ 11% din sesiunile de 100 de rotiri. Pierderea la rupere: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Jucătorul a cumpărat o catastrofă mai rară cu prețul uneia mai mari. Pe multe sesiuni, costul așteptat al ruperilor este p × pierdere ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 pe ciclu la limita de $500 și 0,0025 × 5.110 = $12,8 la $5.000; este, în limita rotunjirilor, același număr și reprezintă pierderea așteptatămatematicăPierdere așteptatăValoarea așteptată înmulțită cu suma totală pariată; suma pierdută în medie pe durata unei sesiuni sau a unei perioade.Citește tot → a ciclului minus cei $10 pe care îi câștigă ciclurile câștigătoare.
Soluția (e)
Nu. Pierderea așteptată pe ciclu = (miza totală așteptată în ciclu) / 37, la orice limită, pentru că fiecare pariu este −1/37 din el însuși. Limita doar hotărăște cum se distribuie pierderea între multe câștiguri mici și puține pierderi mari. Fără limită și cu un buget de jocbaniBuget de jocSuma totală pusă deoparte pentru joc. Gestionarea bugetului înseamnă să decizi cât din el riști pe pariu și pe sesiune.Citește tot → infinit, progresia ar „funcționa”, în sensul că nu s-ar rupe niciodată, dar ar și paria o sumă nemărginită, cu o pierdere așteptată de 2,70% din acea sumă nemărginită. Limita meseimasăLimita meseiPariul minim și pariul maxim permise. Maximul este cel care oprește progresiile cu dublare.Citește tot → nu este ceea ce împiedică MartingalestrategieMartingaleProgresie care dublează pariul după fiecare pierdere. Vezi secțiunea Strategie pentru ce face și ce nu face.Citește tot → să funcționeze. Aritmetica este.
Două mese reale
Exemplul lui Thorp este o masă de $1 cu un maxim de $1.000, la care un jucător speră să câștige $30 pentru cină, câte un dolar o dată. Mizele 1, 2, 4 … 512 permit zece pariuri, deci zece pierderi la rând rup progresia: o dată la 785 de cicluri pe o roată europeană (o dată la 613 pe una americană), cu un cost de $1.023. Toate cele treizeci de cicluri reușesc în 96,2% din cazuri. Celelalte 3,8% pierd aproximativ $1.000, iar rezultatul mediu al serii este −$9,17, adică exact 1/37 din cei $339 pe care cele treizeci de cicluri îi pariază în medie. O masă de $5 cu un maxim de $2.000 nu e diferită: mizele de până la $1.280 permit nouă pariuri, iar ruperea vine o dată la 403 cicluri pe o roată europeană (o dată la 323 pe una americană) și costă $2.555.
Un jucător bogat
Dă-i progresiei un buget de joc mare în loc de o limită mică: 1.000 de unități, o miză de bază de o unitate și 1.000 de rotiri pe roșu, cu reluare de la o unitate ori de câte ori următoarea dublare depășește ce a mai rămas. Am simulat un milion de astfel de seri. Pe o roată europeană, 52% se încheie pe plus, 21% pierd tot, iar rezultatul mediu este −124 de unități. Chiar și într-un joc fără zeroroatăZeroSingurul buzunar verde, pe care nu îl acoperă niciun pariu pe șanse simple, pe duzină sau pe coloană; sursa avantajului casei. Se mai numește: un singur zero, 0.Citește tot →, în care fiecare pariu este echitabil, doar aproximativ 60% s-ar încheia pe plus. Seara obișnuită este un câștig mic; media este plătită de serile care se termină la zero.
Lecția
Cazinourile stabilesc limite ca să-și plafoneze propria varianțămatematicăVarianțăO măsură a cât de larg se împrăștie rezultatele în jurul valorii așteptate. Mare pentru numărul plin, mică pentru șansele simple.Citește tot →, nu ca să învingă sistemele. Învingerea sistemului Martingale este un efect secundar pe care îl primesc cu plăcere, iar aritmetica l-ar învinge oricum. Un jucător care crede că limita este problema a găsit prăpastia și a confundat-o cu panta.
Formulă
Întrebări
Îți permite să reziști până la o limită mai mare, la care ruperea este mai rară și mai mare. Pierderea așteptată pe dolar rămâne neschimbată.
Mize 10, 30, 70, 150, 310: limita de $500 este atinsă după cinci pierderi, iar ruperea costă $570. Aceiași 2,70%.
Ca un singur jucător să nu poată paria mai mult decât poate plăti confortabil rezerva cazinoului. Gestionarea varianței.
Matematică distractivă
Încearcă mai întâi singur. Fiecare soluție este ascunsă; deschide-o când ești gata.
Un MartingalestrategieMartingaleProgresie care dublează pariul după fiecare pierdere. Vezi secțiunea Strategie pentru ce face și ce nu face.Citește tot → pornește de la $100 pe roșupariuRoșuȘansă simplă pe cele 18 numere roșii. În franceză: rouge.Citește tot → și își permite cel mult n pariuri pe ciclu: după n pierderi la rând renunță și o ia de la capăt. Scrie rezultatul mediu al unui ciclu ca formulă în n și calculează-l pentru 5, 6 și 7 pariuri la o roată europeană.
Arată soluția
Răspuns Media este 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 pentru 5 pariuri, −$17,35 pentru 6 și −$20,52 pentru 7. Dacă îți permiți mai multe pariuri, ciclul mediu devine mai rău, nu mai bun.
Un ciclu câștigă $100, în afară de cazul în care toate cele n pariuri pierd, ceea ce se întâmplă cu probabilitatea qⁿ, unde q = 19/37. Când pierd toate, mizele 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ se adună la 100 × (2ⁿ − 1). Deci media este 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Aici 2q = 38/37, puțin peste 1, așa că (2q)ⁿ crește odată cu n și media scade: n = 5 dă 1,1426 și −$14,26; n = 6 dă 1,1735 și −$17,35; n = 7 dă 1,2052 și −$20,52. O scară mai lungă pierde mai rar, în 3,6%, 1,8% și 0,9% din cicluri, dar fiecare pierdere e de două ori mai mare, iar la fiecare ciclu trec mai mulți bani peste masă, cu 2,70% din fiecare pariu.
La o roată americană 2q = 40/38, iar cifrele sunt −$29,24, −$36,04 și −$43,20 (Taylor, 2021). Într-un joc fără zeroroatăZeroSingurul buzunar verde, pe care nu îl acoperă niciun pariu pe șanse simple, pe duzină sau pe coloană; sursa avantajului casei. Se mai numește: un singur zero, 0.Citește tot →, 2q = 1 și fiecare ciclu dă în medie exact zero, oricât de lungă ar fi scara.
„Marea Martingale” dublează miza după o pierdere și adaugă o unitatebaniUnitateMiza de bază în care lucrează un sistem sau un jucător. Progresiile sunt descrise în unități ca să se aplice la orice masă.Citește tot →, așa că mizele merg 1, 3, 7, 15, 31 … Cu cât ești pe plus când primul câștig vine la pariul 1, 2, 3 sau k? La o unitate de $10 și un maxim de $500, cât de des se rupe un ciclu și cât costă în medie un ciclu?
Arată soluția
Răspuns Un câștig la pariul k te lasă cu k unități pe plus: +1, +2, +3 și așa mai departe. La $10 și $500, ciclul se rupe după cinci pierderi, în 3,57% din cicluri, cu −$570. În medie, un ciclu pierde $2,32 din $85,73 pariați: 2,70%.
Miza a k-a este de 2ᵏ − 1 unități: 1, 3, 7, 15, 31. Primele k − 1 mize însumează 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Un câștig la pariul k plătește 2ᵏ − 1, deci ciclul se încheie cu (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unități pe plus: o unitate în plus pentru fiecare pierdere dinaintea câștigului.
La $10 unitatea, mizele sunt $10, $30, $70, $150 și $310; următoarea, $630, depășește maximul de $500. Cinci pierderi la rând, (19/37)⁵ = 3,57%, costă 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Media: câștigurile aduc $10 × k cu probabilitatea (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 pentru k de la 1 la 5, iar ruperea ia $570 cu probabilitatea 3,57%; împreună, −$2,32. Banii pariați sunt în medie $85,73 pe ciclu, iar 2,32/85,73 = 2,70%. Martingale obișnuit, la aceeași masă, se rupe după șase pierderi, în 1,83% din cicluri, cu −$630, și pierde $1,74 din $64,20 pariați: tot 2,70%.
Un jucător plănuiește o Martingale pe roșu, cu un prim pariu de $1, la o masă cu limita de $1.000, așa că sunt posibile zece pariuri: $1, $2, $4 și așa mai departe până la $512. Cât de des pierde un ciclu toate cele zece, cât durează asta în medie și cât de des se termină așa o seară de 200 de pariuri?
Arată soluția
Răspuns Un ciclu pierde toate cele zece cam o dată din 784, ceea ce costă $1.023. Asta înseamnă în medie cam 1.600 de pariuri, iar o seară de 200 de pariuri se lovește de zid în cam 11% din cazuri. Un ciclu tot pierde în medie $0,31 din $11,31 pariați: 2,70%.
Un pariu pe roșu pierde cu probabilitatea 19/37, cu zero cu tot. Zece la rând: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, cam 1 din 784. Mizele 1 + 2 + 4 + … + 512 însumează $1.023.
Un ciclu durează în medie 2,05 pariuri, așa că 784 de cicluri durează cam 1.600 de pariuri. Numărată rotire cu rotire, o serie de zece pierderi apare undeva în 200 de pariuri în 11,3% din cazuri.
Între dezastre jucătorul câștigă $1 pe ciclu: cam $783 înainte de cel prost, apoi −$1.023, cam −$240 pe toată perioada. Pe ciclu: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Banii pariați pe ciclu: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Iar −0,31/11,31 = −2,70%.
Compară cu un prim pariu de $10 la o limită de $500, șase pariuri: zidul vine o dată la 55 de cicluri, iar o seară de 200 de pariuri se lovește de el în 84% din cazuri. O limită mai mare face prăbușirea mai rară și mai mare, nu mai ieftină.
Pauză de umor
Mai rar și mai mare, la fiecare limită. Produsul este constant.
Surse
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.