Problemă: roata zilelor de naștere
Câte rotiri trec până se repetă un număr oarecare? Mult mai puține decât bănuiesc majoritatea oamenilor.
Problema zilelor de naștere pe o roată cu 37 de buzunareechipamentBuzunarUnul dintre cele 37 de compartimente numerotate ale rotorului. Se mai numește: locaș, cupă.Citește tot →: după doar 8 rotiri, probabilitatea ca un număr să fi ieșit deja de două ori este mai mare de jumătate. Jucătorii citesc repetițiile ca pe niște tipare; ele sunt comportamentul așteptat al unei roți corecte.
Problema
Învârți o roată europeană corectă. Câte rotiri trec până când probabilitateamatematicăProbabilitateȘansa unui rezultat, de la 0 la 1 sau de la 0% la 100%. Un număr: 1/37 = 2,70%.Citește tot → ca cel puțin două rotiri să fi arătat același număr depășește o jumătate? Majoritatea jucătorilor ghicesc undeva în jur de 18 sau 19, adică jumătate din 37. Răspunsul este 8.
Soluția
Se calculează probabilitatea să nu existe nicio repetare și se scade din unu. După k rotiri, p(toate diferite) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Pentru k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, deci p(o repetare oarecare) ≈ 0,56. Pentru k = 14 este 0,93; pentru k = 20 este 0,996. Intuiția dă greș pentru că numărul perechilor de rotiri crește ca k², iar orice pereche se poate potrivi.
De ce contează la masă
O tabelă de rezultate cu ultimele 20 de numere va arăta aproape întotdeauna cel puțin o repetare, adesea două sau trei. Jucătorii văd „17 a ieșit de două ori în zece rotiri” și concluzionează că 17 este cald; aritmetica zilelor de naștere spune că o repetare în zece rotiri apare în 74% din cazuri, iar numărul repetat este aleatoriu. Tiparul este real; sensul lui nu.
Problema următoare
Câte rotiri trec până când un anumit număr, să zicem 17, a ieșit de două ori? Este o altă întrebare, cu un răspuns mult mai mare: așteptarea medie este de 74 de rotiri, iar probabilitatea a doi de 17 în 20 de rotiri este de aproximativ 10%. Diferența dintre „un număr oarecare se repetă” (8 rotiri) și „acest număr se repetă” (74 de rotiri) este întreaga diferență dintre un tipar pe care îl observi după aceea și o prezicere pe care o faci dinainte.
Încearcă
Rulează Jocul demo pentru zece rotiri și uită-te la istoric. De obicei va exista o repetare. Rulează-l din nou. Numărul repetat va fi altul. Fă asta de zece ori și ai văzut problema zilelor de nașterematematicăProblema zilelor de naștereCâți oameni trebuie să fie ca doi dintre ei să aibă probabil aceeași zi de naștere sau câte rotiri trec până când un număr probabil se repetă. Pe o roată cu 37 de buzunare, 8 rotiri sunt suficiente pentru o probabilitate mai mare de jumătate.Citește tot →; fă-o de o mie de ori (simulatoarele pot) și ai măsurat-o.
Formulă
Întrebări
Exact, doar că cu 37 de buzunare în loc de 365 de zile. 23 de persoane dau 50% pentru zilele de naștere; 8 rotiri dau 56% pentru roată.
50% după aproximativ 19 rotiri. Tot ceva obișnuit.
Nu. Mii de rotiri de pe aceeași roată ar sugera-o; o repetare, niciodată.
Matematică distractivă
Încearcă mai întâi singur. Fiecare soluție este ascunsă; deschide-o când ești gata.
Un tablou de rezultate de lângă o roată americană arată ultimele 16 rotiri. Cât de probabil este ca niciun număr să nu apară de două ori pe el?
Arată soluția
Răspuns Cam 2,5%: aproximativ 39 de tablouri din 40 arată cel puțin o repetare.
Mergi rotire cu rotire. Prima rotire poate fi orice. A doua trebuie să o evite: 37 de șanse din 38. A treia trebuie să le evite pe amândouă: 36 din 38. A șaisprezecea trebuie să evite cincisprezece numere: 23 din 38.
Înmulțește: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Tabloul fără repetare este cel rar. Un tablou cu o repetare nu spune nimic despre roată.
În zece rotiri pe o roată europeană, care este șansa ca 17 să iasă exact de cinci ori? Ca un număr oarecare, oricare ar fi, să iasă de cinci ori sau mai mult? Și ca un număr să iasă de cel puțin trei ori în patru rotiri?
Arată soluția
Răspuns 17 exact de cinci ori: 1 din 315.576. Un număr oarecare de cinci ori sau mai mult: cam 1 din 8.333. Un număr de trei ori sau mai mult în patru rotiri: 1 din 349.
17 de cinci ori: alegi care cinci dintre cele zece rotiri, în 252 de feluri, fiecare cu șansa (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Împreună, 1 din 315.576.
Un număr oarecare: fiecare dintre cele 37 de numere are o șansă de 1 din 308.325 să iasă de cinci ori sau mai mult, ceea ce dă 37 din 308.325, adică 1 din 8.333. Cazul rar a două numere cu câte cinci apariții este numărat de două ori, dar scoaterea lui nu schimbă nimic la această precizie.
De trei ori în patru rotiri: pentru un număr, 4 × 36 + 1 = 145 dintre cele 37⁴ rezultate posibile; pentru oricare dintre cele 37 de numere, 145/37³ = 1 din 349.
Wizard of Odds a răspuns la versiunile cu dublu zeroroatăZeroSingurul buzunar verde, pe care nu îl acoperă niciun pariu pe șanse simple, pe duzină sau pe coloană; sursa avantajului casei. Se mai numește: un singur zero, 0.Citește tot → ale acestor întrebări; cifrele noastre pentru acea roată sunt 1 din 359.275, 1 din 9.243 și 1 din 368. Diferența dintre „17” și „un număr oarecare” este din nou problema zilelor de nașterematematicăProblema zilelor de naștereCâți oameni trebuie să fie ca doi dintre ei să aibă probabil aceeași zi de naștere sau câte rotiri trec până când un număr probabil se repetă. Pe o roată cu 37 de buzunare, 8 rotiri sunt suficiente pentru o probabilitate mai mare de jumătate.Citește tot →: există 37 de feluri de a fi surprins.
Pauză de umor
Ceva se repetă devreme. Acel ceva este aleatoriu.
Surse
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, întrebări despre ruletă.