Probabilitatea seriilor
Seriile lungi de o singură culoare sunt frecvente. Sunt și lipsite de sens pentru următoarea rotire.
Cinci roșii la rând: 2,7%. Zece: 0,074%. Într-o sesiune de 200 de rotiri, o serie de șase de aceeași culoare apare mai des decât nu.
Cât de des apare o serie de pierderi
Un pariu pe șanse simple la o roată cu un singur zero pierde 19 rotiri din 37. Fiecare rând arată probabilitatea ca o serie dată de rotiri să fie toate pierdute și cât a pierdut până atunci un jucător de Martingale, care dublează după fiecare pierdere.
| pierderi la rând | probabilitate | cam 1 din | pierdut până acum | pariul următor |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
Probabilitatea este 19/37 înmulțit cu el însuși o dată pentru fiecare pierdere, socotind de la o rotire dată. O sesiune lungă are multe rotiri de la care poate începe o astfel de serie, deci pe parcursul unei seri ea este mult mai probabilă decât sugerează un rând.
O singură serie
ProbabilitateamatematicăProbabilitateȘansa unui rezultat, de la 0 la 1 sau de la 0% la 100%. Un număr: 1/37 = 2,70%.Citește tot → ca următoarele k rotiri să fie toate roșupariuRoșuȘansă simplă pe cele 18 numere roșii. În franceză: rouge.Citește tot → este (18/37)ᵏ. Două: 23,7%. Cinci: 2,7%. Zece: 0,074%, aproximativ 1 din 1.350. Douăzeci: 1 din 1,8 milioane. Douăzeci și șase, recordul de la Monte Carlo: 1 din 137 de milioane. Acestea sunt șansele unei serii anume care începe la o rotire anume, adică întrebarea pe care aproape nimeni nu o pune de fapt.
Într-o sesiune
Întrebarea pe care o au oamenii în minte este „va apărea undeva în sesiunea mea o serie de k?”, iar răspunsul este mult mai mare decât (18/37)ᵏ, pentru că o sesiune de 200 de rotiri oferă aproape 200 de locuri în care poate începe o serie. O serie de șase sau mai multe de aceeași culoare, roșu sau negrupariuNegruȘansă simplă pe cele 18 numere negre. În franceză: noir.Citește tot →, apare într-o sesiune de 200 de rotiri în aproximativ 94% din cazuri; opt sau mai multe în aproximativ 47%; zece sau mai multe în aproximativ 14%. Dacă numești culoarea dinainte, șansele scad la aproximativ 75%, 27% și 7%. Un jucător care stă o seară întreagă va vedea serii lungi în fiecare seară.
De ce contează pentru Martingale
Fiecare progresiestrategieProgresieOrice regulă care schimbă miza în funcție de rezultatele anterioare. Progresiile negative o măresc după pierderi, cele pozitive după câștiguri.Citește tot → negativă are o lungime a seriei care o rupe: șase pierderi de la o miză de bază de $10 la o limită de $500, zece pentru FibonaccistrategieFibonacciProgresie care urmează șirul 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: un pas înainte după o pierdere, doi pași înapoi după un câștig.Citește tot →, cinci pentru triplarea pe duzinipariuDuzină1–12, 13–24 sau 25–36, plătește 2:1.Citește tot →. Probabilitatea unei serii de șase pierderi pe șansă simplă este (19/37)⁶ ≈ 1,8% pe încercare, iar o sesiune de 200 de rotiri conține poate 100 de încercări, deci ruperea apare în aproximativ patru sesiuni din cinci de această lungime. Probabilitățile seriilor sunt motivul pentru care prăpastia nu este rară.
Numere calde și reci
Aceeași aritmetică se aplică numerelor plinepariuNumăr plinUn singur număr, plătește 35:1.Citește tot →. În 300 de rotiri, numărul așteptat de ieșiri pe număr este 8,1; abaterea standardmatematicăAbatere standardRădăcina pătrată a varianței; distanța tipică a unui rezultat față de valoarea așteptată.Citește tot → este aproximativ 2,8. Un număr va ieși de 15 ori, iar altul de 2 ori doar din întâmplare, de fiecare dată. O tabelă de rezultate care evidențiază numerele „calde” evidențiază vârful unei distribuții normale. Laboratorul explică câte rotiri sunt necesare până când un număr caldmitNumăr caldUn număr care a ieșit recent mai des decât era de așteptat. La o roată corectă nu prezice nimic.Citește tot → înseamnă ceva (mii, de pe o singură roată identificată).
Independența este tot ideea
O serie de zece roșii nu face negrul mai probabil și nici roșul mai probabil. Ambele sunt 18/37. Seriile sunt o proprietate a secvențelor aleatorii și ar fi suspecte prin absența lor: o secvență de 200 de rotiri fără nicio serie mai lungă de patru ar fi o dovadă mult mai puternică de manipulare decât una cu o serie de doisprezece.
Formulă
Întrebări
26 de negre la Monte Carlo, pe 18 august 1913, este cea faimoasă. 32 de roșii la rând au fost raportate la un cazinou american în 1943. Amândouă sunt compatibile cu întâmplarea, având în vedere câte rotiri se joacă în cazinouri.
Este 18/37 oricum. Pariază ce spune planul tău sau nu paria nimic.
Nu. Abaterea se vede prin faptul că unele buzunareechipamentBuzunarUnul dintre cele 37 de compartimente numerotate ale rotorului. Se mai numește: locaș, cupă.Citește tot → ies mai des pe mii de rotiri, nu prin serii de o culoare.
Matematică distractivă
Încearcă mai întâi singur. Fiecare soluție este ascunsă; deschide-o când ești gata.
De câte rotiri ale unei roți europene este nevoie, în medie, până când fiecare dintre cele 37 de numere a ieșit cel puțin o dată?
Arată soluția
Răspuns În medie, aproximativ 155 de rotiri; mediana este 147.
Numără așteptarea câte un număr nou pe rând. Prima rotire arată întotdeauna un număr nou. După ce ai văzut 1 număr, 36 din 37 de buzunareechipamentBuzunarUnul dintre cele 37 de compartimente numerotate ale rotorului. Se mai numește: locaș, cupă.Citește tot → sunt noi, așa că următorul număr nou durează în medie 37/36 rotiri. După ce ai văzut k numere, durează 37/(37 − k).
Adună așteptările: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 rotiri.
Cea mai mare parte vine la final. Ultimul număr singur durează în medie 37 de rotiri, iar ultimele cinci aproximativ 85. Pe o roată americană, aceeași sumă dă aproximativ 161. Este problema colecționarului de cupoane; Wizard of Odds dă aceeași medie.
În 37 de rotiri ale unei roți europene, câte una pentru fiecare buzunar, câte numere diferite te poți aștepta să vezi?
Arată soluția
Răspuns Aproximativ 23,6. Cam o treime din numere, aproximativ 13, nu ies deloc.
Ia un număr, de exemplu 17. La fiecare rotire, nu iese cu probabilitatea 36/37, deci ratează toate cele 37 de rotiri cu probabilitatea (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Fiecare număr are aceeași probabilitate, deci în medie lipsesc 37 × 0,363 ≈ 13,4 numere și ies 37 − 13,4 ≈ 23,6, multe dintre ele de două ori sau mai mult.
Jucătorii de ruletă numesc asta legea treimilor. Nu este o lege, ci doar aritmetica repetărilor: într-o serie lungă cât roata, aproximativ o treime din numere stau deoparte, pe o roată corectă ca pe oricare alta. Pe 38 de buzunare, proporția este tot (37/38)³⁸ ≈ 0,363; pentru o roată mare, se stabilizează în jur de 1/e ≈ 0,368.
Un prieten îți arată două liste de câte 50 de culori, roșupariuRoșuȘansă simplă pe cele 18 numere roșii. În franceză: rouge.Citește tot → sau negrupariuNegruȘansă simplă pe cele 18 numere negre. În franceză: noir.Citește tot →, despre care spune că provin de la o roată, fără zeroroatăZeroSingurul buzunar verde, pe care nu îl acoperă niciun pariu pe șanse simple, pe duzină sau pe coloană; sursa avantajului casei. Se mai numește: un singur zero, 0.Citește tot →. Una schimbă culoarea de 25 de ori, iar cea mai lungă serie a ei este de șase. Cealaltă schimbă de 35 de ori și nu are nicio serie mai lungă de trei. Care a fost inventată?
Arată soluția
Răspuns A doua. O listă reală schimbă culoarea de aproximativ 24 sau 25 de ori. Una cu 35 de schimbări apare cam o dată la 500 de liste, iar una fără nicio serie mai lungă de trei, cam de două ori la 100.
Fiecare culoare nouă fie o repetă pe cea dinainte, fie schimbă, jumătate-jumătate, așa că 49 de ocazii de schimbare dau în medie 24,5 schimbări, cu o variație de aproximativ 3,5 în plus sau în minus. Treizeci și cinci înseamnă trei astfel de pași peste medie; o roată corectă produce atâtea schimbări cam o dată la 500 de liste.
Seriile spun aceeași poveste. O listă reală de 50 are o serie de patru sau mai multe în aproximativ 98% din cazuri, iar cea mai lungă serie a ei este cel mai des de cinci sau șase.
Oamenii rugați să inventeze o listă aleatorie schimbă prea des, pentru că o serie de patru sau cinci li se pare un tipar. Taylor (2021) arată același indiciu în listele de aruncări cu moneda inventate de studenți: hazardul real are mai multe serii decât se așteaptă oamenii.
O carte cu povești de cazinou vorbește despre un jucător al cărui număr a ieșit de cinci ori la rând și numește asta un record. Cât de rar este la o roată europeană? Și cât de des ar trebui să se întâmple undeva într-un cazinou cu 20 de mese, fiecare cu 40 de rotiri pe oră, zi și noapte?
Arată soluția
Răspuns Un număr ales dinainte de cinci ori la rând: 1 din 69 de milioane. Orice număr care mai iese de patru ori după prima apariție: 1 din 1,87 milioane. Cazinoul acela face cam 7 milioane de rotiri pe an, deci ar trebui să vadă o serie de cinci de trei sau patru ori pe an.
Un număr ales dinainte iese cu probabilitatea 1/37 la fiecare rotire, deci cinci la rând au probabilitatea (1/37)⁵ = 1 din 69.343.957. Dar nimeni nu alege numărul dinainte. Orice ar ieși primul, următoarele patru rotiri trebuie să-l repete: (1/37)⁴ = 1 din 1.874.161.
20 de mese × 40 de rotiri × 24 de ore × 365 de zile = 7.008.000 de rotiri pe an. Fiecare rotire poate începe o serie, așa că un cazinou se poate aștepta la 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 serii de cinci pe an.
Nu există niciun record oficial de acest fel și nici nu e nevoie de unul: un eveniment rar la o masă e unul obișnuit la scara unui cazinou, iar poveștile se spun despre masa la care s-a întâmplat. Povestea, la Goldman (2007), are loc la o roată cu dublu zero, unde cifrele sunt 1 din 79 de milioane și 1 din 2,09 milioane.
Pauză de umor
Seriile lungi sunt felul în care arată aleatoriul.
Surse
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.